Komplexitätsforschung III: Der imaginäre Zustand

Dirk Baecker

Eine interessante Möglichkeit, Komplexität zu modellieren, stammt aus der älteren Mathematik. Der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria hat bereits im zweiten oder dritten Jahrhundert nach Christus vorgeschlagen, von „geordneten Paaren“ von Zahlen immer dann zu sprechen, wenn mathematische Gleichungen mindestens zwei Lösungen haben, die nicht aufeinander reduziert werden können. Das ist bei imaginären Zahlen, i = √-1, der Fall.

Die Lösung, i = ±1, ist eine Oszillation, eine Selbstreferenz, eine Paradoxie. Imaginäre Zahlen ergänzen die reellen Zahlen zu den sogenannten komplexen Zahlen. Schaut man aus Sicht der imaginären Zahlen auf die reellen Zahlen, so sind die Zahlen, denen es an der Fähigkeit fehlt zu oszillieren. Der Begriff einer komplexen Zahl zwingt somit auch die Zahlentheorie auf eine neue Ebene, auf der Zahlen nicht nur zählen, sondern auch operieren. Sie markieren einen Switch, einen Schalter.

Oszillation, frei nach G. Spencer-Brown

George Spencer-Brown hat in seinem Buch der Laws of Form (1969) einen Indikationenkalkül entwickelt hat, der zeigt, wie und was die imaginären Zahlen zählen. Sein Ausgangspunkt war seine Verwunderung darüber, dass er als Ingenieur in der Schaltalgebra mit genau den imaginären Zahlen rechnen konnte, die in der Grundlagentheorie der Mathematik, insbesondere in den Principia Mathematica von Bertrand Russell und Alfred N. Whitehead verboten waren, weil sie eine Selbstreferenz enthielten (x = -1/x). Die Form dieses Verbots, die sogenannte Typentheorie, hat Russell später als Verlegenheitslösung bezeichnet. Wenn etwas funktioniert (zum Beispiel in der Zählmaschine, die Spencer-Brown für British Railways gebaut und zum Patent angemeldet hat), kann man es nicht einfach verbieten. Im Gegenteil, man sollte sich darum bemühen, die Grundlagen so umzustellen, dass man verstehen und erklären kann, dass und wie etwas funktioniert. Die Laws of Form sind das Ergebnis dieser Bemühung und der Nachweis, wie imaginäre Zustände errechnet werden können, ist ihr Resultat.

Unangenehm ist nur, dass der Kalkül nicht nur zeigt, mit welchen Operationen man zum Resultat imaginärer Zustände kommt, sondern zugleich den Beweis dafür antritt, dass die Möglichkeit dieses Resultats davon abhängt, dass man bereits mit dem imaginären Zustand angefangen hat. Ganze Zahlen (1, 2, 3,…, n), natürliche Zahlen (-n, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, n), rationale Zahlen (Verhältnis zweier ganzer Zahlen, das als Bruch darstellbar ist) und reelle Zahlen (Verhältnis zweier Zahlen, das nicht als Bruch darstellbar ist) sind Schrumpfformen komplexer Zahlen, die, wenn man so will, je natürlicher und ganzer sie sind, desto mehr jeden Hinweis auf einen Zählvorgang, dem sie sich verdanken, vermissen lassen. Man muss, wie Brian Rotman gezeigt hat, auf die Null reflektieren, um einen Sinn für die Operationen zu bekommen, die hinter einem Zählvorgang stecken. Die Null ist der Punkt, auf den ein Beobachter sich stellen muss, um anfangen können zu zählen. Und man muss auf die Idee kommen nachzufragen, wer welche Zahlen zueinander in das Verhältnisses eines Bruches setzt, um zu unterstreichen, dass nicht der Kreis selbst, sondern die berechnende Vernunft (rationalitas), also ein Beobachter, an der Zahl π interessiert ist. Im Kontext des Indikationenkalküls wird die Zahlentheorie zu einer Theorie, die auf den Prozess – und damit auf Motive, Blickwinkel, Absichten –hinweist, der in seinen Resultaten vergessen wird.

Zählen setzt Beobachten und Beobachten setzt einen Beobachter voraus. Die Welt ist nicht von sich aus in die Zählbarkeit ihrer Objekte geordnet. Was hat es mit diesem Beobachter (w/m) auf sich? Warum muss man sich bis zum imaginären Zustand vorgearbeitet haben, um seiner ansichtig zu werden? Was bedeutet seine Entdeckung für alle nicht-imaginären Zahlen?

Zahlentheoretisch fällt die Antwort auf diese Fragen nicht schwer. Nicht-imaginäre Zahlen sind Zahlen, in denen die Entscheidung für einen eindeutigen Wert gefallen ist; imaginäre Zahlen sind Zahlen, in denen diese Entscheidung nicht möglich ist und somit eine Unentscheidbarkeit festgehalten wird. Wer mit imaginären Zahlen rechnet, rechnet mit Unentscheidbarkeiten. Wer mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet mit Entschiedenem und Unentschiedenem. Wie das in der Praxis geht, wissen wir nicht zuletzt aus der Belletristik. Joseph Vogl hat das Zaudern vieler Helden beschrieben: ihr unentschlossenes Zögern. Das Zaudern führt die Möglichkeit des Entschlusses mit sich, aber es ist (noch) kein Entschluss und wird möglicherweise nie einer werden, steht jedoch in seinem Horizont. Wichtiger noch, das Zaudern ruft Kognitionen auf den Plan, die zwischen Fremd- und Selbsterkenntnis, zwischen situativen Einschätzungen und möglichen Motiven und Absichten rotieren – und die Erkenntnisse, die dabei gewonnen werden, für interessanter halten als die Option eines Entschlusses.

Die Pointe der Einführung des Beobachters liegt nicht darin, dass wir nun wissen, wer sich entschieden hat. Im Zweifel ist dieses Wissen von geringerer Bedeutung als das Wissen darum, was beschlossen worden ist. Nein, einen Unterschied macht der Beobachter dann, wenn wir wissen wollen, was nicht entschieden worden ist, was anders hätte entschieden werden können und welche Ressource immer dann erforderlich ist, wenn wir es mit einer Unentscheidbarkeit zu tun haben. Es geht um das Wie der Entscheidung.

Dieses Wie ist der Beobachter selbst. Der „god killer“, mit Patty Jenkins‘ und Gal Gadots Film Wonder Woman (USA, 2017) gesprochen, ist nicht das Schwert, sondern Diana, die es führt. Der Beobachter ist derjenige, der sich so und anders entscheiden kann. Seine Position ist so imaginär wie diejenige der imaginären Zahl. Auch er oszilliert. Er kann sich nur auf sich beziehen, wenn eine Entscheidung erforderlich ist. „Nur die Fragen, die im Prinzip unentscheidbar sind, können wir entscheiden“, lautet daher das „metaphysische Postulat“ von Heinz von Foerster. Denn alle anderen Fragen sind bereits entschieden, sei es durch ihre Rahmung oder durch Regeln, die bestimmen, was als Antwort zugelassen ist.

Komplex sind Sachverhalte, denen es gelingt, mit eigenen Operationen eigene Unbestimmtheit zu erzeugen und zu reproduzieren. Die Kybernetik zweiter Ordnung ist die Wissenschaft, die versucht, für Systeme (Heinz von Foerster), Objekte (Ranulph Glanville), Organismen (Humberto R. Maturana und Francisco J. Varela) und rekursive Funktionen (Louis H. Kauffman) die Operationen zu beschreiben, dank derer dies möglich ist. Wie sich herausstellt, besteht die entscheidende Voraussetzung darin, für diese Systeme, Objekte, Organismen und Funktionen die Fähigkeit der Selbstbeobachtung zu unterstellen und aus dieser Fähigkeit der Selbstbeobachtung die Möglichkeit der Selbstorganisation abzuleiten. Diese Selbstbeobachtung stößt, wie man seit der Philosophie des deutschen Idealismus weiß, nicht etwa auf eine Substanz, etwa die Identität dieses Selbst, sondern wiederum auf eine Operation, nämlich die Fähigkeit der Negation. Diese Negation ist ihrerseits eine mindestens doppelte Relation, nämlich die Relation des Selbst zur Welt und der Welt zum Selbst. In der Negation kommt diese doppelte Relation zur Einheit ihrer Differenz.

Komplex sind Sachverhalte, die aus Negation Selbstbeobachtung gewinnen. Den Zustand, in dem dies möglich ist, nennt Spencer-Brown einen imaginären Zustand, analog zu imaginären Zahlen. Und er schlägt vor, sich diesen Zustand, der im Raum nicht zu finden ist, in der Zeit vorzustellen. Katrin Wille, die das entsprechende 11. Kapitel in den Laws of Form genau gelesen hat (2009, S. 180ff.), weist darauf hin, dass die Oszillation nicht etwa in der Zeit stattfindet, sondern Zeit schafft: Die Oszillation schafft die Zeit, in der die stattfindet, so wie die Unterscheidung den Raum hervorruft, in/dem sie zwei Seiten unterscheidet. Daran anschließend können die Funktion des Gedächtnisses beschrieben werden, die Zustände wieder aufruft und so bestätigt, und die Funktion der Oszillation, die zwischen marked state und unmarked state wechselt und so den Zustand der Unbestimmtheit bestätigt.

Die Vorstellung des imaginären Zustands in der Zeit deckt sich mit der These von Alfred Korzybski, dass die Fähigkeit zur Bindung von Zeit (time-binding) den Menschen kennzeichnet: Pflanzen binden Energie, Tiere zusätzlich Raum und Menschen zusätzlich Zeit. Zeit zu binden, soll heißen, dass Menschen in der Lage sind, biographisch und gattungsgeschichtlich Information und Wissen aus verschiedenen Zeitpunkten in Beziehung zu setzen. Das steigert das Potential der Negation, der Bestätigung und der Unbestimmtheit erheblich.

Niklas Luhmann kann im Anschluss daran formulieren, dass soziale Systeme die „Zeit (benutzen), Zeit, um ihre kontinuierliche Selbstauflösung zu erzwingen; sie erzwingen ihre kontinuierliche Selbstauflösung, um die Selektivität aller Selbsterneuerung sicherzustellen; und sie benutzen diese Selektivität, um die Selbsterneuerung selbst zu ermöglichen in einer Umwelt, die kontinuierlich schwankende Anforderungen stellt“ (1984, S. 394).

Aber die Vorstellung des imaginären Zustands in der Zeit ist nicht alternativlos. Spätestens mit Ludwig Feuerbach, aber auch mit Martin Buber, George Herbert Mead, Talcott Parsons, Fritz Heider, Ronald D. Laing und anderen kann man sich den imaginären Zustand auch als Ergebnis der Einführung eines Du neben dem Ich vorstellen. Ein Blick, eine Geste, ein Wort des anderen genügt und meine Bestimmtheit verwandelt sich in Unbestimmtheit, und umgekehrt. „Le temps, c’est l’autre“, könnte man mit Emmanuel Lévinas formulieren und so die Zeit und die Sozialität als Produkte und Anlässe der Unbestimmtheit zusammenbringen. Die Soziologie als Wissenschaft vom sozius, vom Zweiten und Gefährten, könnte so Grundlagenwissenschaft werden.

Aber es gibt eine dritte Möglichkeit, sich den imaginären Zustand vorzustellen, nämlich den wahr-falschen Sinn, von dem Ludwig Wittgenstein in seinen Tagebüchern 1914–1916, genauer: im Appendix I über die „Bipolarität von Sätzen“, gesprochen hat. Der wahr-falsche Sinn erläutert die Wahrheitsfunktion in Satz 6 des Tractatus logico-philosophicus. Der wahr-falsche Sinn öffnet und bestimmt im Unbestimmten jenen „logischen Raum“, in dem eine Bedeutung, entweder wahr oder falsch, allererst entschieden werden kann.

Trägt man zusätzlich der ökologischen, in die Astrophysik, Nanotechnologie, Quantenmechanik und Psychopharmatoxikologie ausgreifenden Unbestimmtheit in der Sachdimension des Sinns Rechnung, kommen weitere Optionen des Gewinns von Negierbarkeit in den Blick. Unter diesen Umständen erhält die Wahrheitsfunktion Wittgensteins einen übergreifenden und zugleich keinerlei Gesamtzusammenhang von Welt garantierenden strukturellen und formalen Status.

Im Anschluss an diese Möglichkeiten kann man sich einen eigenen Typ von Komplexitätsforschung vorstellen, die ausgehend von „negativer Objektivität“ (Theodor W. Adorno) mit den Faktoren Zeit, Sinn und Sozialität rechnet, die in Beobachtungen zweiter Ordnung zu variablen Strukturen verdichtet und wieder gelockert werden. Diese Komplexitätsforschung versteht soziale Systeme als symbolische Systeme der Produktion von Negierbarkeit, die von zielorientierten organischen Systemen aufgerufen und wieder vergessen werden, die sich in ihrer natürlichen und technischen Umwelt kritisch auf mehr oder minder kausale Systeme beziehen. Dabei entstehen kulturelle Konventionen, die immer dann, wenn die Komplexität überfordert (ambiguity failure, mit Eric A. Leifer), mit mehr oder minder unverhandelbaren Traditionen („Leitkulturen“) verwechselt werden. Ich formuliere bewusst nahe an Talcott Parsons‘ Überlegungen zu einem funktionalen Paradigma der human condition. Denn hier finden sich die kognitionswissenschaftlichen Ressourcen für eine künftige Komplexitätsforschung dieses Typs. Mit Spencer-Brown setzt dies voraus, dass wir neu zu rechnen, zu zählen und zu ordnen lernen.


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