Corona X: Exponentielle Mathematisierung der Bevölkerung?

Thomas Ostermann

Als Mathematiker erlebt man häufig, dass Begrifflichkeiten aus der eigenen beruflichen Sozialisation für das Gegenüber in der alltäglichen Kommunikation nur schwer verdaulich sind. Das liegt möglicherweise daran, dass Mathematik, auch die angewandte, oft sehr abstrakt in der Formalisierung von Prozessen ist und nur wenige konkrete Beispiele im Alltag zu finden sind. Zumeist bleibt es dann bei mathematischen Sprachbildern wie „dem gemeinsamen Nenner“ oder „Pi mal Daumen“,  (siehe dazu auch Mathe in der Alltagssprache: Spiegel Wissenschaft vom 28. April 2010) wobei deren Herkunft selbst Mathematikern nicht immer geläufig ist. 

Das hat sich nun geändert: In Talkshows, Kolumnen, Posts in den Sozialen Medien liest und hört man allenthalben: „Coronavirusfälle nehmen exponentiell zu. Bis Mitte April könnten acht Millionen Menschen infiziert sein“, so der Tagesspiegel am 18. März 2020). Oder „Es handelt sich um ein exponentielles Wachstum. Die Fälle werden sich jede Woche verdoppeln, und das bedeutet, dass wir Ende Mai eine Million Infizierte haben werden!“  (Rangar Yogeshwar, Anne Will 8. März 2020). Und offenbar ist nun jedem klar, was es mit dem „exponentiellem Wachstum auf sich hat.

Wirklich? Laut Wikipedia beschreibt exponentielles Wachstum (auch „unbegrenztes bzw. freies Wachstum“ genannt) „ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert“. In der Mathematik wird dieses Wachstum in mehr oder weniger abgewandelter Form zumeist als Differentialgleichung eines Bestandes B beschrieben dessen Änderung B‘(t) sich proportional zu B verhält:

B‘(t)= λ B(t)

Der Wert λ ist dabei die Wachstumskonstante und wird als Kehrwert der Vervielfältigungszeit berechnet.

Haben wir es also mit exponentiellem Wachstum zu tun? Ohne limitierende Faktoren ist das sicherlich der Fall und das Virus verhält sich ähnlich wie die Verbreitung eines Gerüchts. Das kennt jeder aus der Alltagswelt. Das Gerücht wird verbreitet („z.B. „Das Corona Virus verbreitet sich exponentiell“) und weitergegeben (z.B. an zwei Freunde). Diese verbreiten es wieder an 2 Freunde usw. Irgendwann ist das Gerücht dann durchs Dorf getrieben und fast jeder weiß es, d.h. die Zeit, die man braucht, um zwei weitere Freunde zu finden, die es noch nicht kennen, wird länger. Oder: Das Gerücht wird durch Medien aufgeklärt und es verliert seinen Reiz. 

http://anorg-chemie.blogspot.com/2016/04/raw-materials-and-resources-excursus-c.html?m=1

Dieses Verhalten eines begrenzten Wachstums ist zu Beginn ebenfalls exponentiell steigend, da es nur wenige Menschen gibt, die das Gerücht kennen. Aber es ist eben nicht unbeschränkt exponentiell, sondern logistisch (S-förmig) und beschreibt einen beschränkten Wachstumsprozess. Mit λ als Wachstumskonstante und B(t) als aktuellem Bestand und G als Gesamtzahl der Personen ergibt sich damit ein erweitertes Modell:

  B‘(t)= λ B(t) (G-B(t))

Je mehr Menschen aus G also betroffen sind (also in diesem Beispiel von dem Gerücht wissen) desto stärker wirkt sich das auf die Veränderungsrate B‘(t) aus, die dann (ebenfalls exponentiell) abnimmt. Das lässt sich (zumindest in erster Näherung auch auf die Verbreitung von Viren übertragen (siehe dazu auch den Blog der Deutschen Mathematiker Vereinigung). Ein Video, das den Unterschied erklärt findet sich hier:

Leider führt die mediale Berichterstattung nun dazu, dass das Gerücht verbreitet wird, dass es sich bei der Dynamik des Coronavirus um ein unbeschränkt exponentielles Wachstum handelt. Und damit dieser Prozess nicht wie ein normales Gerücht abebbt, gibt es Multiplikatoren, die immer wieder diese Begrifflichkeit verwenden. Schade, dass hier die Chance verpasst wurde, die Bevölkerung im Zuge der Aufklärung in dieser Differenziertheit zu informieren und sie gleichzeitig mit einem der schönsten mathematischen Modelle bekannt zu machen. Damit hätte zumindest auch ein Gedanke der Zuversicht ganz mathematisch transportiert werden können, ohne die aktuelle Problematik zu beschönigen oder kleinzureden. Aber in Zeiten von Talkshows und sozialen Medien, in denen es mathematisch trivial fast ausschließlich um Polarisierung in zwei Lager zu gehen scheint, ist diese Chance vertan worden. Offenbar eine Quadratur des Kreises!


2 Gedanken zu „Corona X: Exponentielle Mathematisierung der Bevölkerung?

  1. Chuck

    Wie biegt man exponentielles oder logistisches Wachstum in lineares Wachstum um, indem man ein paar Parameter um die Funktionsgleichung baut? Ist es nicht schwierig, bei solchen unstabilen Bedingungen mit ein paar Modifikationen eine konstante Weitergabe hinzujustieren? Es wäre im Grunde fast exponentiell gewachsen und plötzlich waren die Zahlen über einen längeren Zeitraum fast konstant?
    Mit der Sättigung ist es da so, daß eine Person nicht mehrfach angesteckt werden kann. Das gibt irgendwie so eine Art Glockenkurve. Ich stelle mir das so vor: wenn ich aus 100 Elementen 100 mal zufällig irgendein Element selektiere, kommt es ja zu Überschneidungen. Manche Elemente wähle ich mehrfach und die mehrfachen zählen einfach. Insgesamt pendelt sich die Anzahl der insgesamt überhaupt selektierten Elemente ( die, die es erwischt hat) dann normalverteilt um einen Mittelwert.
    Das vergißt man auch gerne und multipliziert stattdessen einfach stur durch.
    Ich tue mir da auch schwer damit und das Blöde ist, daß hier aus Denkfehlern schnell Gerüchte werden und aus Gerüchten eventuell Neuinfektionen. Einfach die Regeln befolgen und so gut es geht versuchen mitzudenken.

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  2. Pingback: Was Geisteswissenschaftler*innen zu Corona zu sagen haben – Redaktionsblog

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